Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1786
i

АС  — общая ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ABC и ADC. Плос­ко­сти этих тре­уголь­ни­ков вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те квад­рат длины от­рез­ка BD, если AB=9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , BC=9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , AD  =  DC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем в тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­ту BH. Най­дем:

BH= дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из 3 умно­жить на 9 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 9 ко­рень из 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из 2 конец дроби .

Зна­чит,

AH в квад­ра­те = AB в квад­ра­те минус BH в квад­ра­те =81 левая круг­лая скоб­ка 3 минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 81 умно­жить на 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби

и

AD= дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби =9 умно­жить на 2=18.

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

HD в квад­ра­те =AH в квад­ра­те плюс AD в квад­ра­те минус 2AH умно­жить на AD умно­жить на ко­си­нус 45 гра­ду­сов =
= дробь: чис­ли­тель: 81 умно­жить на 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 81 умно­жить на 4 минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9 умно­жить на 3, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из 2 конец дроби умно­жить на 18 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =81 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 4 минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 81 умно­жить на 17, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Далее, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

BD в квад­ра­те =BH в квад­ра­те плюс HD в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 81 умно­жить на 15, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 81 умно­жить на 17, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби =81 умно­жить на 4=324.

Ответ: 324.


Аналоги к заданию № 1786: 1818 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2021
Сложность: III
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: 2\.2\. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025